05 January 2017

高等量子力学考点总结

第一章基本概念

推导薛定谔方程
Dyson级数（从时间演化算符满足的微分方程出发）
电子自旋进动
Ehrenfest定律证明/包含电磁相互作用时的Ehrenfest定律的证明
一维线性谐振子的全部推导（$\hat{H}$写成升降算符的形式、$n>0$、$n$为整数、基态、升降算符作用于本征态）
Casimir效应（$E = 2\times \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \hbar \omega_k$）
谐振子的相干态
从薛定谔方程到坐标表象的薛定谔方程和定态薛定谔方程
WKB近似（假设：$\varphi(x,t)=e^{\frac{i}{\hbar}(s(x)-Et)}$，$s(x)=s_0(x)+(\frac{i}{\hbar})s_1(x)+\cdots$）
传播子及其满足的动力学方程 $$K(x,t;x_0,t_0) = \langle x e^{-\frac{i}{\hbar} H (t-t_0)} x_0\rangle$$
Feynman路径积分的推导（$K = \int_{x_1}^{x_N} dx(t) \exp (\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t} L_c dt )$）
用定义和Feynman路径积分计算自由粒子/谐振子的传播子
常数势导致量子相干（$V\rightarrow V+\Delta V$）
电磁场中的常数势导致量子相干（$A \rightarrow A + \nabla \Lambda$）
AB效应（磁通量子化、干涉现象）
Dirac弦（电荷量子化方案）

量子转动下各角动量平均值的变化（eg. $\langle J_x \rangle \rightarrow \langle e^{\frac{i}{\hbar}J_z \varphi} J_x e^{-\frac{i}{\hbar}J_z \varphi}\rangle$）
泡利矩阵的代数性质
由$S_{z \uparrow}$转动生成任意自旋态
Euler转动（在下面一条的计算中用到）
$R_n(\varphi)$在$$ j,m\rangle$表象下的矩阵表示（$R_n(\varphi)=\exp(-i\frac{\varphi}{2}\sigma_n)$$）
自旋轨道角动量耦合
两电子角动量耦合
量子力学条件下定域性原理的冲突
自旋$\frac{1}{2}$粒子的密度矩阵表示
密度矩阵随时间的演化

散射微分截面与散射振幅（$dN = J_n \sigma(\theta,\varphi)d\Omega$，$\psi=e^{ikz}+f(\theta,\varphi) \frac{e^{ikr}}{r}$，$$\sigma(\theta,\varphi)=

f(\theta,\varphi)

^2$$）

Fock表象下产生湮灭算符的对易关系的推导
证明$\hat{n}_i=\hat{a}_i^\dagger\hat{a}_i$
求$$\hat{a}_i \cdots, n_i, \cdots\rangle$，$\hat{a}_i^\dagger \cdots, n_i, \cdots\rangle$$
可加单粒子算符和可加双粒子算符的表示
单粒子连续谱中的产生湮灭算符（波函数的量子化）
量子化波函数自洽（从海森堡绘景和薛定谔绘景中来看$\hat{\psi}_\sigma(\vec{r})$，$\hat{\psi}_\sigma^\dagger(\vec{r})$)
无相互作用费米子的密度平均值、密度矩阵、密度-密度关联函数
无相互作用波色子的密度-密度关联函数
有相互作用费米子体系的平均场方法/Particle-hole Excitation Energy

\[\int_0^\infty e^{-x^2} dx = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\]
\[\exp(\lambda \hat{A}) \hat{B} \exp(-\lambda \hat{A}) = \hat{B} + \lambda [\hat{A},\hat{B}]+\dfrac{\lambda^2}{2!} [\hat{A},[\hat{A},\hat{B}]] + \cdots\]
\[\int_{-\infty}^{+\infty} \dfrac{1}{k'+k} e^{ik'r} dk' = 2\pi i \text{ Res }f(-k) = 2\pi i e^{-ikr}\]
\[\int_0^\pi \cos^2(kr\cos\theta) d\theta = \dfrac{\pi}{2} (1+\dfrac{\sin (2kr)}{2kr})\]